Số vô tỉ – Wikipedia tiếng Việt - EU-Vietnam Business Network (EVBN)

Hằng số toán học π là một số vô tỷ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng.

Trong toán học, các số vô tỷ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỷ, mà là các số được xây dựng từ các tỷ số (hoặc phân số) của các số nguyên. Khi tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng là một số vô tỉ, các đoạn thẳng này cũng được mô tả là không thể đo lường được, có nghĩa là chúng không chia sẻ “thước đo” chung, nghĩa là không có độ dài (“số đo”) chung, dù là ngắn đến đâu, mà có thể được sử dụng để thể hiện độ dài của cả hai đoạn thẳng đã cho dưới dạng bội số nguyên của cùng một đoạn thẳng đơn vị chung.

Các ví dụ về số vô tỉ là tỷ lệ π của chu vi của vòng tròn với đường kính của nó, số Euler e, tỷ lệ vàng φ, và căn bậc hai của hai;[1][2][3] trong thực tế, tất cả các căn bậc hai của số tự nhiên, trừ căn bậc hai của các số chính phương, đều là các số vô tỉ.

Bạn đang đọc: Số vô tỉ – Wikipedia tiếng Việt

Có thể chỉ ra rằng những số vô tỉ, khi được bộc lộ trong một mạng lưới hệ thống cơ số ( ví dụ như số thập phân hoặc với bất kể cơ số tự nhiên nào khác ), là những chuỗi không chấm hết, cũng không lặp lại, nghĩa là không chứa một chuỗi những chữ số, mà có sự tái diễn ở phần đuôi của cách trình diễn số. Ví dụ : trình diễn thập phân của số π mở màn bằng 3.14159, nhưng không có số chữ số hữu hạn nào hoàn toàn có thể đại diện thay mặt đúng mực cho số π, và cũng không có sự tái diễn. Việc chứng tỏ cho thấy việc lan rộng ra thập phân của số hữu tỉ phải chấm hết hoặc lặp lại khác với chứng tỏ rằng việc lan rộng ra thập phân chấm hết hoặc lặp lại phải là 1 số ít hữu tỉ, và mặc dầu sơ cấp và không dài, cả hai chứng tỏ đều không đơn thuần. Các nhà toán học thường không coi việc bộc lộ thập phân là ” chấm hết hoặc tái diễn ” là định nghĩa của khái niệm số hữu tỉ .Số vô tỉ cũng hoàn toàn có thể được giải quyết và xử lý trải qua những liên phân số không kết thúc .Như một hệ quả của chứng tỏ của Cantor rằng những số thực là không hề đếm được và những số hữu tỷ hoàn toàn có thể đếm được, theo đó phần đông tổng thể những số thực là những số vô tỉ. [ 4 ]
Tập hợp những số thực ( R ), gồm có những số hữu tỷ ( Q. ), gồm có những số nguyên ( Z ), gồm có những số tự nhiên ( N ). Các số thực cũng gồm có những số vô tỷ ( R \ Q ) .

Mục Lục

Hy Lạp cổ đại[sửa|sửa mã nguồn]

Bằng chứng tiên phong về sự sống sót của những số vô tỉ thường được quy cho một người theo phe phái Pythagore ( hoàn toàn có thể là Hippasus của Metapontum ), [ 5 ] người hoàn toàn có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác lập những cạnh của ngôi sao 5 cánh năm cánh. [ 6 ] Phương pháp Pythagore hiện tại đã công bố rằng phải có 1 số ít đơn vị chức năng đủ nhỏ, không hề phân loại, hoàn toàn có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như những chiều dài khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã hoàn toàn có thể suy luận rằng trên trong thực tiễn không có đơn vị chức năng thống kê giám sát chung nào, và việc chứng minh và khẳng định sự sống sót như vậy trên trong thực tiễn là một xích míc. Ông đã làm điều này bằng cách chứng tỏ rằng nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân thực sự có tỷ suất đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị chức năng đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không hề. Lý luận của ông là như sau :

Giả sử chúng ta có một tam giác vuông cân với các số nguyên cạnh a, b và c. Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng c:b.
Giả sử a, b và c là các số hạng nhỏ nhất có thể (nghĩa là chúng không có ước số chung).
Theo định lý Pythagoras: c2 = a2 + b2 = b2 + b2 = 2b2. (Vì tam giác là cân, nên a = b).
Vì c2 = 2b2, c2 chia hết cho 2 và do đó chẵn.
Vì c2 là chẵn nên c phải chẵn.
Vì c là chẵn nên chia c cho 2 có thương là số nguyên. Đặt y là số nguyên này (c = 2y).
Bình phương cả hai vế của c = 2y thu được c2 = (2y)2 hoặc c2 = 4y 2.
Thay 4y2 cho c2 theo phương trình thứ nhất (c2 = 2b2) cho kết quả 4y2 = 2b2.
Chia cho 2 thu được 2y2 = b2.
Vì y là một số nguyên và 2y2 = b2, b2 phải chia hết cho 2 và do đó là số chẵn.
Vì b2 là chẵn nên b phải chẵn.
Chúng ta vừa chỉ ra rằng cả b và c phải là số chẵn. Do đó chúng có ước số chung là 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Mâu thuẫn này chứng minh rằng cả c và b không thể là số nguyên và do đó, có sự tồn tại của một số không thể biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên.[7]

Các nhà toán học Hy Lạp đã gọi tỉ lệ này là các số không thể đo lường được, hoặc không thể diễn tả được. Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra điều này khi đang ở ngoài biển và sau đó bị các nhà toán học cùng trường phái Pythagore của ông ném ra khỏi tàu vì đã tạo ra một yếu tố trong vũ trụ mà phản đối lại học thuyết, rằng tất cả các hiện tượng trong vũ trụ có thể được tối giản thành các số nguyên và tỉ lệ của chúng.” [8] Một truyền thuyết nói rằng Hippasus chỉ đơn thuần là phải đi lưu vong vì chứng minh này. Dù hậu quả của Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số lượng và hình học không thể tách rời – một nền tảng của lý thuyết này.

Việc phát hiện ra những tỉ lệ không hề tối giản / đo được cho thấy một yếu tố khác mà người Hy Lạp phải đương đầu : mối quan hệ của sự rời rạc với sự liên tục. Điều này đã được Zeno of Elea đưa ra ánh sáng, người đã đặt câu hỏi về ý niệm rằng số lượng là rời rạc và gồm có một số lượng đơn vị chức năng hữu hạn có size nhất định. Các ý niệm của Hy Lạp trong quá khứ cho rằng chúng nhất thiết phải có, vì hàng loạt những số đại diện thay mặt cho những đối tượng người dùng rời rạc và tỉ lệ tương ứng biểu lộ mối quan hệ giữa hai bộ sưu tập những đối tượng người dùng rời rạc, [ 9 ] nhưng Zeno thấy rằng ” trong trong thực tiễn số lượng không phải là tổng / tập hợp của những đơn vị chức năng ; Đây là nguyên do tại sao những tỉ lệ không hề xử lý được [ số lượng ] Open. Số lượng, nói cách khác là liên tục. ” Điều này có nghĩa là, trái với ý niệm phổ cập về thời hạn, không hề có một đơn vị chức năng không hề chia nhỏ nhất, mà tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng nó như đơn vị chức năng đo cho bất kể số lượng nào. Trong thực tiễn, những phân loại số lượng này nhất thiết phải là vô hạn. Ví dụ, hãy xem xét một đoạn thẳng : đoạn thẳng này hoàn toàn có thể được chia làm đôi, một nửa chia thành 50% nữa, một nửa mới chia này liên tục chia thành 50% nữa, và như vậy. Quá trình này hoàn toàn có thể liên tục đến vô tận, vì luôn có một nửa khác bị chia đôi. Càng nhiều lần đoạn thẳng được chia đôi, đơn vị chức năng đo càng gần bằng 0, nhưng nó không khi nào đạt đến số 0 đúng mực. Đây chỉ là những gì Zeno tìm cách chứng tỏ. Ông đã tìm cách chứng tỏ điều này bằng cách thiết kế xây dựng bốn nghịch lý, điều này chứng tỏ những xích míc vốn có trong tư tưởng toán học thời đó. Mặc dù nghịch lý của Zeno đã chứng tỏ đúng mực những thiếu sót của những ý niệm toán học khi đó, chúng không được coi là vật chứng của sự thay thế sửa chữa. Trong tâm lý của người Hy Lạp, việc bác bỏ tính hợp lệ của một quan điểm không nhất thiết phải chứng tỏ tính hợp lệ của một quan điểm khác, và do đó phải thực thi tìm hiểu thêm .Bước tiếp theo được Eudoxus của Cnidus triển khai, người đã chính thức nêu ra một kim chỉ nan mới về tỷ suất có tính đến số lượng tương ứng cũng như không hề so sánh được. Trung tâm của sáng tạo độc đáo của ông là sự phân biệt giữa cường độ và số lượng. Một cường độ … không phải là một số lượng mà là viết tắt của những thực thể như đoạn thẳng, góc, diện tích quy hoạnh, khối lượng và thời hạn hoàn toàn có thể biến hóa, như tất cả chúng ta sẽ nói, liên tục. Độ lớn trái ngược với những số lượng, nhảy từ giá trị này sang giá trị khác, ví dụ điển hình từ 4 đến 5. ” [ 10 ] Các số được tạo thành từ một số ít đơn vị chức năng nhỏ nhất, không hề chia, trong khi cường độ hoàn toàn có thể giảm vô hạn. Do không có giá trị định lượng nào được gán cho độ lớn, Eudoxus sau đó hoàn toàn có thể tính cả hai tỷ suất tương ứng và không hề đo được bằng cách xác lập tỉ lệ theo độ lớn của nó và tỷ suất là một đẳng thức giữa hai tỉ lệ. Bằng cách lấy những giá trị định lượng ( số ) ra khỏi phương trình, ông tránh được cái bẫy phải bộc lộ 1 số ít vô ỉỷ dưới dạng số. Lý thuyết của Eoxoxus được cho phép những nhà toán học Hy Lạp đạt được tân tiến to lớn về hình học bằng cách cung ứng nền tảng logic thiết yếu cho những tỷ suất vô tỷ. [ 11 ] Tính không thích hợp này được xử lý trong Tác phẩm Cơ bản của Euclid, Quyển X, Proposition 9 .

Do sự phân biệt giữa số lượng và cường độ, hình học trở thành phương pháp duy nhất có thể biểu diễn được các tỉ lệ là số vô tỉ. Bởi vì các nền tảng số học trước đây vẫn chưa tương thích với khái niệm về số vô tỉ, trọng tâm của toán học Hy Lạp đã ngừng tập trung nghiên cứu các khái niệm về số như đại số và hầu như chỉ tập trung vào hình học. Trong thực tế, trong nhiều trường hợp, các khái niệm đại số đã được cải tổ thành các thuật ngữ hình học. Điều này có thể giải thích cho lý do tại sao chúng ta vẫn quan niệm x2 và x3 là x bình phương và x lập phương thay vì x mũ hai và x mũ ba. Cũng rất quan trọng đối với tác phẩm của Zeno với cường độ (số vô tỉ) không thể đo lường được là trọng tâm cơ bản trong lý luận suy diễn xuất phát từ sự tan vỡ nền tảng của toán học Hy Lạp trước đó. Việc nhận ra rằng một số quan niệm cơ bản trong lý thuyết hiện tại là mâu thuẫn với thực tế cần phải có một cuộc điều tra đầy đủ và kỹ lưỡng về các tiên đề và giả định làm nền tảng cho lý thuyết đó. Xuất phát từ sự cần thiết này, Eudoxus đã phát triển phương pháp cạn kiệt của mình, một loại chứng minh phản chứng mà “đã thành lập cách thức suy diễn trên cơ sở các tiên đề rõ ràng, cũng như khẳng định và củng cố cho cách thức chứng minh trước đó. Phương pháp cạn kiệt này là bước đầu tiên trong việc tạo ra môn vi tích phân.

Theodorus của Cyrene chứng tỏ tính vô tỷ của khai căn của những số nguyên lên đến khai căn của những số nhỏ hơn 17, nhưng dừng lại ở đó có lẽ rằng vì đại số ông sử dụng không hề được vận dụng cho căn bậc n của 17. [ 12 ]Chỉ đến khi mà Eudoxus tăng trưởng một kim chỉ nan về tỷ suất có tính đến những tỷ suất là số vô tỉ cũng như tỉ lệ là số hữu tỉ, một nền tảng toán học can đảm và mạnh mẽ của những số vô tỉ mới được tạo ra. [ 13 ]

Biểu diễn thập phân[sửa|sửa mã nguồn]

Có thể dùng trình diễn thập phân ( hay sự màn biểu diễn của 1 số ít trong hệ thập phân ) của 1 số ít để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ .

Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ:

1
2

=
0
,
5

{\displaystyle {\frac {1}{2}}=0,5\,}

${\frac {1}{2}}=0,5\,$ ) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:

1
11

=
0
,
(
09
)

{\displaystyle {\frac {1}{11}}=0,(09)}

${\frac {1}{11}}=0,(09)$ ) thì số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ:

π
=
3
,
141592653589793…

{\displaystyle \pi =3,141592653589793…\,}

$\pi =3,141592653589793...\,$ .)

Một số thực là số vô tỉ khi và chỉ khi màn biểu diễn liên phân số của nó là vô hạn .

Các ví dụ về cách chứng tỏ[sửa|sửa mã nguồn]

Căn bậc hai của 2[sửa|sửa mã nguồn]

Giả sử rằng ${\sqrt {2}}$ số hữu tỉ. Tức là √2 có thể viết được dưới dạng a/b với a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (vì √2 >0)
$2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }$ ${\frac {a}{b}}$ a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (vì √2 >0)
Khi đó ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\Rightarrow a^{2}=2b^{2}$
Nên $a^{2}$ $b^{2}$
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau ở (1)

Vậy nên giả sử 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } là một số hữu tỉ là sai và ta có Kết luận 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } là số vô tỉ .Cách chứng tỏ trên hoàn toàn có thể được tổng quát hóa để chứng tỏ rằng : ” căn bậc hai của một số tự nhiên bất kể hoặc là một số nguyên hoặc là một số ít vô tỉ. ”

Các cách chứng tỏ khác[sửa|sửa mã nguồn]

Để chứng tỏ : ” 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } là 1 số ít vô tỉ ” người ta còn dùng giải pháp phản chứng theo cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên .

Giả sử rằng $2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }$ số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho ${\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}$
Biến đổi đẳng thức trên, ta có: ${\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}$
Vì $2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }$ ${\displaystyle m>n\Leftrightarrow m>2n-m}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726fa777679c869ce68cdd7e8c84da9664bf9b5f”/></span></li> <li>Từ (2) và (3) suy ra <span class=$ phân số rút gọn của phân số ${\frac {m}{n}}$

Từ ( 4 ) suy ra, m n { \ displaystyle { \ frac { m } { n } } } không hề là phân số tối giản hay 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } không hề là số hữu tỉ – xích míc với giả thiết 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } là một số hữu tỉ. Vậy 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } } phải là số vô tỉ .

Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

– một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số

m
n

{\displaystyle {\frac {m}{n}}}

bằng

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

. Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng

m
−
n

{\displaystyle m-n}

$m-n$ và

2
n
−
m

{\displaystyle 2n-m}

$2n-m$ . Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số

2
n
−
m

m
−
n

{\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}}

cũng bằng

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

. Như vậy,

m
n

2
n
−
m

m
−
n

{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}}

, điều này chứng tỏ phân số

m
n

{\displaystyle {\frac {m}{n}}}

không thể là phân số tối giản hay

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.

Căn bậc hai của 10[sửa|sửa mã nguồn]

Giả sử

{\displaystyle {\sqrt {10}}}

${\sqrt {10}}$ là số hữu tỉ, tức là bằng

m
n

{\displaystyle {\frac {m}{n}}}

, vậy:

m^{2}=10n^{2}

m, n là số nguyên

Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng:

a
×
10
k
;
k
≥
0

{\displaystyle a\times 10k;k\geq 0}

$a\times 10k;k\geq 0$ , trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương

n

2

{\displaystyle n^{2}}

$n^{2}$ nào cũng có dạng:

a

2

×

10

2
k

;
k
≥
0

{\displaystyle a^{2}\times 10^{2k};k\geq 0}

$a^{2}\times 10^{2k};k\geq 0$ .)

Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 { \ displaystyle { \ sqrt { 10 } } } là số hữu tỉ phải sai .

Căn bậc ba của 2[sửa|sửa mã nguồn]

Giả sử A =

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}

${\sqrt[ {3}]{2}}$ là một số hữu tỉ.Có nghĩa là tồn tại m,n là số nguyên sao cho

A
=

m
n

{\displaystyle A={\frac {m}{n}}}

$A={\frac {m}{n}}$ . Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình:

Xem thêm: “Làm gì có ai yêu mãi một người em ơi” là câu hát nằm trong lời bài hát nào?

=
2

{\displaystyle x^{3}=2}

$x^{3}=2$ ;

Suy ra m là ước của 2, n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. Vậy A là vô tỉ .

Căn bậc n của toàn bộ những số nguyên tố[sửa|sửa mã nguồn]

Dùng cùng chiêu thức này, ta hoàn toàn có thể chứng tỏ rằng căn bậc n của bất kể số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ .

Lấy số nguyên bất kỳ r.

Ví dụ, r = 2.

Trong hệ nhị phân,

2
=

{\displaystyle 2=10_{2}}

$2=10_{2}$

Vậy, như ở trên, nếu

{\displaystyle {\sqrt {10_{2}}}}

${\sqrt {10_{2}}}$ =

m
n

{\displaystyle {\frac {m}{n}}}

thì, trong hệ nhị phân:

m^{2}=10_{2}n^{2}

m, n là số nguyên

Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

không phải là số nguyên.

Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 ( trong hệ nhị phân ) ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 10 _ { 2 } } } } là số hữu tỉ phải sai .

Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r – phân:

m^{2}=10_{r}n^{2}

m, n là số nguyên

Nếu n = 1 thì

=
r

{\displaystyle m^{2}=10_{r}=r}

$m^{2}=10_{r}=r$ , vậy

{\displaystyle {\sqrt {r}}}

${\sqrt {r}}$ là số nguyên.

Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r – phân phải có số chẵn số 0 (trong hệ r – phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy

{\displaystyle {\sqrt {r}}}

không thể là số hữu tỉ.

Tỉ lệ vàng[sửa|sửa mã nguồn]

Điểm I chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng nếu A, I, B thẳng hàng và

A
I

A
B

I
B

A
I

1
+

{\displaystyle {AI \over AB}={IB \over AI}={1+{\sqrt {5}} \over 2}}

${AI \over AB}={IB \over AI}={1+{\sqrt {5}} \over 2}$ với Ai > IB

Tỉ số vàng là một số vô tỉ. Thật vậy, giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, thì nó có dạng phân số tối giản là

x
a

{\displaystyle {\frac {x}{a}}}

${\frac {x}{a}}$ , với x là chiều dài của cả đoạn và a là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là x − a. Và ta có:

x
a

w
h
o
l
e

l
o
n
g
e
r

p
a
r
t

l
o
n
g
e
r

p
a
r
t

s
h
o
r
t
e
r

p
a
r
t

x
−
a

{\displaystyle {x \over a}={\mathrm {whole} \over \mathrm {longer} \ \mathrm {part} }={\mathrm {longer} \ \mathrm {part} \over \mathrm {shorter} \ \mathrm {part} }={a \over x-a}}

${x \over a}={{\mathrm {whole}} \over {\mathrm {longer}}\ {\mathrm {part}}}={{\mathrm {longer}}\ {\mathrm {part}} \over {\mathrm {shorter}}\ {\mathrm {part}}}={a \over x-a}$

Điều này có nghĩa là phân số tối giản

x
a

{\displaystyle {\frac {x}{a}}}

được rút gọn thành

x
−
a

{\displaystyle {\frac {a}{x-a}}}

${\frac {a}{x-a}}$ – một sự vô lý. Sự vô lý này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.

Có lẽ, những số vô tỉ dễ nhận ra nhất là những lôgarít. Dưới đây ta sử dụng giải pháp phản chứng để chứng tỏ rằng log23 là một số ít vô tỉ :
Tương tự, bạn hoàn toàn có thể chứng tỏ cho trường hợp : log102 .

Chứng minh e là số vô-tỉ[sửa|sửa mã nguồn]

Xem chứng tỏ ở bài số e .

Số vô tỉ siêu việt và vô tỉ đại số[sửa|sửa mã nguồn]

Một số vô tỉ hoặc là số siêu việt hoặc là số đại số (hay Không-đa thức với các hệ số nguyên), trong đó hầu hết các số vô tỉ đều là số siêu việt và số siêu việt là số vô tỉ. Ví dụ:

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

{\displaystyle {\sqrt {3}}}

${\sqrt {3}}$ là các số vô tỉ đại số; còn e và π là các số vô tỉ siêu việt.

Có thể tạo ra những số vô tỉ đại số, bằng cách xét những phương trình đa thức :
$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$

Trong đó, các hệ số

{\displaystyle a_{i}}

$a_{i}$ là số nguyên và

≠
0

{\displaystyle a_{n}\neq 0}

$a_{n}\neq 0$

Giả sử rằng có ít nhất một số thực x sao cho

p
(
x
)
=
0

{\displaystyle p(x)=0}

$p(x)=0$ (ví dụ, với n lẻ ta luôn tìm được một số x như vậy) thì x là số vô tỉ khi phương trình đa thức trên không có nghiệm hữu tỉ. Nếu đa thức p có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó có dạng

r
s

{\displaystyle {\frac {r}{s}}}

${\frac {r}{s}}$ , trong đó: r là ước của

{\displaystyle a_{0}}

$a_{0}$ và s là ước của

{\displaystyle a_{n}}

$a_{n}$ . Vì thế bằng cách thử trực tiếp các giá trị

r
s

{\displaystyle {\frac {r}{s}}}

trên bạn có thể biết chúng có phải là nghiệm của p không. Nếu tất cả các giá trị đó đều không là nghiệm của p thì x phải là số vô tỉ.

Ví dụ, bằng cách trên bạn có thể chỉ ra rằng

x=(2^{1/2}+1)^{1/3}

(x^{3}-1)^{2}=2

x^{6}-2x^{3}-1=0

{\frac {r}{s}}=\pm 1

Để tạo ra các số vô tỉ siêu việt, bạn không thể dùng cách kết hợp các số đại số với nhau, vì các số đại số lập thành một trường, hơn nữa, là một trường đóng. Nhưng bạn có thể dùng cách kết hợp các số siêu việt với các số đại số. Ví dụ:

3
π
+
2

{\displaystyle 3\pi +2}

$3\pi +2$ ,

π
+

{\displaystyle \pi +{\sqrt {2}}}

$\pi +{\sqrt {2}}$ , và

e
+

{\displaystyle e+{\sqrt {3}}}

$e+{\sqrt {3}}$ là các số vô tỉ (cũng là các số siêu việt).

Câu hỏi chưa có lời giải[sửa|sửa mã nguồn]

Các số

π
+
e

{\displaystyle \pi +e}

$\pi +e$ và

π
−
e

{\displaystyle \pi -e}

$\pi -e$ là số vô tỉ hay không phải là số vô tỉ? Thực tế, chưa ai tìm ra được một cặp số nguyên khác 0 m và n để khẳng định rằng

m
π
+
n
e

{\displaystyle m\pi +ne}

$m\pi +ne$ hoặc là số vô tỉ hoặc không phải là số vô tỉ.

Cũng chưa ai khẳng định được các số:

{\displaystyle 2^{e}}

$2^{e}$ ,

{\displaystyle \pi ^{e}}

$\pi ^{e}$ ,

{\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}

$\pi ^{\sqrt {2}}$ , hằng số Catalan và hằng số Euler-Mascheroni γ có phải là số vô tỉ hay không.

Mặt khác, theo Công thức Euler thì eiπ + 1 = 0 nên eiπ = -1 lại là một số nguyên, tức là số hữu tỉ

Tập hợp số vô tỉ[sửa|sửa mã nguồn]

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được ( trong khi tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được và tập hơp số thực là tập hợp cả số vô tỉ và hữu tỉ .. Tập hợp số vô tỉ đại số, hay tập hợp số vô tỉ không siêu việt, là tập hợp đếm được. Tập hợp số vô tỉ dùng giá trị tuyệt đối làm độ đo khoảng cách là một khoảng trống Metric không không thiếu. Tuy nhiên, khoảng trống Metric này đồng phôi với khoảng trống Metric vừa đủ của tổng thể những dãy số nguyên dương ; với ánh xạ đồng phôi cho bởi liên phân số lan rộng ra. Điều đó được chứng tỏ bằng định lý Baire cho khoảng trống những số vô tỉ. Trong khi, tập hợp những số thực với tính tô-pô thường thì là liên thông, thì khoảng trống Barie, cùng với tính tô-pô như những số thực, được gọi là tô-pô thứ tự, lại trọn vẹn rời rạc : không có một ánh xạ nào đi từ số vô tỉ này đến độ dài của 1 số ít vô tỉ khác .