Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8- Đại số 8 chương I - Tin Công Chức

Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản đến nâng cao – bài tập hằng đẳng thức lớp 8 Đại số 8 chương I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ chắc không còn lạ lẫm gì với những bạn học viên, là một nội dung cực kỳ quan trọng trong chương trình toán THCS. Tài liệu gồm có không thiếu những dạng bài tập tương quan đến những hằng đẳng thức. Từ những bài tập vận dụng cơ bản đến những bài vận dụng cao để những em học viên cũng như những thầy cô tìm hiểu thêm làm tài liệu học tập và giảng dạy .

Mục Lục

ôn tập những dạng bài về hằng đẳng thức có đáp án

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

Bạn đang đọc: Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8- Đại số 8 chương I – Tin Công Chức

b, ( x – 3 y ) ( x + 3 y )
c, ( 5 – x ) 2

Lời giải:

a, ( x + 2 y ) 2 = x2 + 4 xy + 4 y2
b, ( x – 3 y ) ( x + 3 y ) = x2 – ( 3 y ) 2 = x2 – 9 y2
c, ( 5 – x ) 2 = 52 – 10 x + x2 = 25 – 10 x + x2

Câu 2: Tính:

a, ( x – 1 ) 2
b, ( 3 – y ) 2
c, ( x – 1/2 ) 2

Lời giải:

a, ( x – 1 ) 2 = x2 – 2 x + 1
b, ( 3 – y ) 2 = 9 – 6 y + y2
c, ( x – 1/2 ) 2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6 x + 9
b, x2 + x + 1/4
c, 2 xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6 x + 9 = x2 + 2. x. 3 + 32 = ( x + 3 ) 2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2. x. 1/2 + ( 50% ) 2 = ( x + 50% ) 2
c, 2 xy2 + x2y4 + 1 = ( xy2 ) 2 + 2. xy2. 1 + 12 = ( xy2 + 1 ) 2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
b, 2 ( x – y ) ( x + y ) + ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
c, ( x – y + z ) 2 + ( z – y ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z )

Lời giải:

a, ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
= x2 + 2 xy + y2 + x2 – 2 xy + y2
= 2×2 + 2 y2
b, 2 ( x – y ) ( x + y ) + ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
= [ ( x + y ) + ( x – y ) ] 2 = ( 2 x ) 2 = 4×2
c, ( x – y + z ) 2 + ( z – y ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z )
= ( x – y + z ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z ) + ( y – z ) 2
= [ ( x – y + z ) + ( y – z ) ] 2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có : a = 5 k + 4 ( k ∈ N )
Ta có : a2 = ( 5 k + 4 ) 2
= 25 k2 + 40 k + 16
= 25 k2 + 40 k + 15 + 1
= 5 ( 5 k2 + 8 k + 3 ) + 1
Ta có : 5 ( 5 k2 + 8 k + 3 ) ⋮ 5
Vậy a2 = ( 5 k + 4 ) 2 chia cho 5 dư 1 .

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b, x3 – 3×2 + 3 x – 1 tại x = 101
c, x3 + 9×2 + 27 x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có : x2 – y2 = ( x + y ) ( x – y )
b, Thay x = 87, y = 13, ta được :
x2 – y2 = ( x + y ) ( x – y )
= ( 87 + 13 ) ( 87 – 13 )
= 100.74 = 7400
c, Ta có : x3 + 9×2 + 27 x + 27
= x3 + 3. x2. 3 + 3. x. 32 + 33
= ( x + 3 ) 3
Thay x = 97, ta được : ( x + 3 ) 3 = ( 97 + 3 ) 3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) + ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = 2 a3
b, ( a + b ) [ ( a – b ) 2 + ab ] = ( a + b ) [ a2 – 2 ab + b2 + ab ] = a3 + b3
c, ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad – bc ) 2

Lời giải:

a, Ta có : ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) + ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2 a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng tỏ .
b, Ta có : ( a + b ) [ ( a – b ) 2 + ab ] = ( a + b ) [ a2 – 2 ab + b2 + ab ]= ( a + b ) ( a2 – 2 ab + b2 ) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng tỏ .
c, Ta có : ( ac + bd ) 2 + ( ad – bc ) 2
= a2c2 + 2 abcd + b2d2 + a2d2 – 2 abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2 ( a2 + b2 ) + d2 ( a2 + b2 )
= ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 )
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng tỏ .

Câu 8: Chứng tỏ rằng:

Xem thêm: Top 14 bài tập giảm mỡ bụng nhanh cho nam và nữ cực kỳ hiệu quả

a, x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x
b, 4 x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a, Ta có : x2 – 6 x + 10 = x2 – 2. x. 3 + 9 + 1 = ( x – 3 ) 2 + 1
Vì ( x – 3 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên ( x – 3 ) 2 + 1 > 0 mọi x
Vậy x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x .
b, Ta có : 4 x – x2 – 5 = – ( x2 – 4 x + 4 ) – 1 = – ( x – 2 ) 2 – 1

Vì ( x – 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên – ( x – 2 ) 2 ≤ 0 với mọi x .
Suy ra : – ( x – 2 ) 2 – 1 ≤ 0 với mọi x
Vậy 4 x – x2 – 5 < 0 với mọi x .

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x2 – 2 x + 5
b, Q = 2×2 – 6 x
c, M = x2 + y2 – x + 6 y + 10

Lời giải:

a, Ta có : P = x2 – 2 x + 5 = x2 – 2 x + 1 + 4 = ( x – 1 ) 2 + 4
Vì ( x – 1 ) 2 ≥ 0 nên ( x – 1 ) 2 + 4 ≥ 4
Suy ra : P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ ( x – 1 ) 2 = 0 ⇒ x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1 .
b, Ta có : Q = 2×2 – 6 x = 2 ( x2 – 3 x ) = 2 ( x2 – 2.3 / 2 x + 9/4 – 9/4 )
= 2 [ ( x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2 ( x – 2/3 ) 2 – 9/2
Vì ( x – 2/3 ) 2 ≥ 0 nên 2 ( x – 2/3 ) 2 ≥ 0 ⇒ 2 ( x – 2/3 ) 2 – 9/2 ≥ – 9/2
Suy ra : Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ ( x – 2/3 ) 2 = 0 ⇒ x = 2/3
Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .
c, Ta có : M = x2 + y2 – x + 6 y + 10 = ( y2 + 6 y + 9 ) + ( x2 – x + 1 )
= ( y + 3 ) 2 + ( x2 – 2.1 / 2 x + 1/4 + 3/4 ) = ( y + 3 ) 2 + ( x – 1/2 ) 2 + 3/4
Vì ( y + 3 ) 2 ≥ 0 và ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên ( y + 3 ) 2 + ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0
⇒ ( y + 3 ) 2 + ( x – 12 ) 2 + 3/4 ≥ 3/4
⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi ( y + 3 ) 2 = 0

⇒ y = – 3 và ( x – 1/2 ) 2 = 0 ⇒ x = 1/2
Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = – 3 và x = 1/2

Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a, A = 4 x – x2 + 3
b, B = x – x2
c, N = 2 x – 2×2 – 5

Lời giải:

a, Ta có : A = 4 x – x2 + 3
= 7 – x2 + 4 x – 4
= 7 – ( x2 – 4 x + 4 )
= 7 – ( x – 2 ) 2
Vì ( x – 2 ) 2 ≥ 0 nên A = 7 – ( x – 2 ) 2 ≤ 7
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2
b, Ta có : B = x – x2
= 1/4 – x2 + x – 1/4
= 1/4 – ( x2 – 2. x. 1/2 + 1/4 )
= 1/4 – ( x – 1/2 ) 2
Vì ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên B = 1/4 – ( x – 1/2 ) 2 ≤ 1/4
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .
c, Ta có : N = 2 x – 2×2 – 5
= – 2 ( x2 – x + 5/2 )
= – 2 ( x2 – 2. x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )
= – 2 [ ( x – 1/2 ) 2 + 9/4 ]= – 2 ( x – 1/2 ) 2 – 9/2
Vì ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên – 2 ( x – 1/2 ) 2 ≤ 0
Suy ra : N = – 2 ( x – 1/2 ) 2 – 9/2 ≤ – 9/2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là – 9/2 tại x = 1/2 .

Câu 11:

Chứng minh những đẳng thức sau :
a ) ( a – b ) 3 = – ( b – a ) 3 ; b ) ( – a – b ) 2 = ( a + b ) 2

Đáp án và hướng dẫn giải

a ) ( a – b ) 3 = – ( b – a ) 3
Biến đổi vế phải thành vế trái :
– ( b – a ) 3 = – ( b3 – 3 b2a + 3 ba2 – a3 ) = – b3 + 3 b2a – 3 ba2 + a3

= a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3 = ( a – b ) 3
Sử dụng đặc thù hai số đối nhau :
( a – b ) 3 = [ ( – 1 ) ( b – a ) ] 3 = ( – 1 ) 3 ( b – a ) 3 = – 13. ( b – a ) 3 = – ( b – a ) 3
b ) ( – a – b ) 2 = ( a + b ) 2
Biến đổi vế trái thành vế phải :
( – a – b ) 2 = [ ( – a ) + ( – b ) ] 2
= ( – a ) 2 + 2. ( – a ). ( – b ) + ( – b ) 2

= a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Xem thêm: Đề cương ôn tập chương 1 – Số học 6

Sử dụng đặc thù hai số đối nhau :
( – a – b ) 2 = [ ( – 1 ). ( a + b ) ] 2 = ( – 1 ) 2. ( a + b ) 2 = 1. ( a + b ) 2 = ( a + b ) 2